Задача 5. Парадокс де Мере. Друг Блеза Паскаля, кавалер де Мере, пристрасний гравець в кості, помітив, що при багаторазовому киданні трьох костей сума очок, яка дорівнює II, випадає частіше, ніж сума очок, що дорівнює 12, хоч на думку де Мере обидві комбінації очок повинні мати однакову імовірність. При цьому де Мере міркував так: 11 очок можна дістати шістьма різними способами (6 — 4 — 1, 6 — 3 — 2, 5 — 5—1, 5 — 4 — 2, 5 — 3 — 3, 4 — 4 — 3) і так само шістьма різними способами можна дістати 12 очок (6 — 5—1,6 — 4 — 2, 6 — 3 — 3, 5 — 5 — 2, 5 — 4—3, 4 — 4—4).

На помилку де Мере вказав Блез Паскаль. Слід враховувати не лише очки, які випадають, а й ту обставину, на яких саме костях вони випадають.

Справді, занумеруємо кості і виписуватимемо очки в тій послідовності, в якій вони випадають. Тоді комбінація 6 — 4 — І здійсниться тоді, коли матимемо один з шести результатів (6 — 4 — 1,6 — 1 — 4, 4 — 6 — 1,4 — 1—6,

1 — 6 — 4, 1 — 4 — 6), а комбінація 4 — 4 — 4 здійсниться лише в одному результаті (4 — 4 — 4).

У цьому випробуванні всього n =816 однаково можливих результатів. Появі суми очок 11 сприяє 27 результатів, а появі суми очок 12 сприяє 25 результатів. Цим і пояснюється помічена де Мере тенденція до частішої появи в сумі 11 очок.

§ 5. Теорема додавання імовірностей несумісних подій

У теорії імовірностей розрізняють прості і складені події. Наприклад, під час кидання двох костей у сумі випало

2 очка. Це проста подія.

Подія називається складеною, якщо поява її залежить від появи інших, простих подій. Наприклад, під час кидання двох гральних кубиків у сумі випало 10 очок. Ця подія є складеною, бо вона може складатися з трьох простих подій:

1) на першому кубику випало 4, на другому — 6 очок;

2) на першому і на другому кубику випало по 5 очок;

3) на першому кубику випало 6, а на другому — 4 очка.