Пропонуємо самостійно довести справедливість сполучного закону додавання для трьох комплексних чисел z₁ = a + bі, z₂ = с + di, z₃ = l + fi.. Віднімання комплексних чисел. Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.

Означення. Різницею двох комплексних чисел z₁ = = а + bі і z₂ = с + di називається таке комплексне число z₃ = х + уі, яке в сумі з z₂ дає z₁.

Отже, z₁— z₂ = z₃, якщо z₃ + z₂ = z₁. Можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.

Доведемо, ЩО ДЛЯ будь-яких комплексних чисел z₁ = = а + bі і z₂ = с + di різниця z₁ — z₂ визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z₃ = x + уi, яке В сумі 3 z₂ ДОрІВНЮЄ z₁

За означенням дії віднімання, (с + di) + (х + уі) — = а + bі. Виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:

(с + x) + (d + у)і = а + bі. (1)

З умови рівності двох комплексних чисел маємо:

Ця система має розв'язок і до того ж єдиний: х = а — с, у — b — d. Отже, існує, і до того ж єдина, пара дійсних чисел (х, у), яка задовольняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:

(а + bі) — (с + di) = (а — с) + (b — d) і,

тобто дійсна частина різниці двох комплексних чисел дорівнює різниці дійсних частин зменшуваного і від'ємника, а коефіцієнт при уявній частині — різниці коефіцієнтів при уявних частинах зменшуваного і від'ємника.

Приклади. Виконати віднімання комплексних чисел:

а) (3 + 4і) - (1 + 2i) = (3 — 1) + (4 — 2) i = 2 + 2i;

б) (—5 + 2i) — (2 + і) = (—5 — 2) + (2 — 1) і = = —7 + і;

в) (6 + 7i) — (6 - 5i) = (6 — 6) + (7 + 5) і == 12i,

г) (0,3 + 2,5i) — (—0,75 + 1,5i = (0,3 + 0,75) + + (2,5 - .1,5) і = 1,05 + і;