Наприклад, спряженими е комплексні числа 4 + Зі та 4 — 3і; 2 — і та 2 + і; — 8 + 7і та — 8 — 7i, —5 — і та — 5 + і. Якщо дане число 6i, то спряжене до нього буде — 6i. До числа 11 спряженим буде 11, бо 11 + 0i = 11 — 0і.

§ 2. Дії над комплексними числами

Додавання комплексних чисел.

Означення. Сумою двох комплексних чисел а + bi і с -f di називається комплексне число (а + с) + (b + d)i, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах доданків, тобто (а + bі) + (с + + di) = (а + с) + (b + d)i.

Приклади. Виконати додавання комплексних чисел:

а) (З + 2i) + (—1 — 5i) = (3 — 1) + (2 — 5) i = 2 — — Зі;

б) (4 — 5і) + (2 — і) = (4 + 2) + (—5 — 1) і = 6 — 6і;

в) (2 + Зі) + (6 - Зi = (2 + 6) + (3 — 3) і = 8;

г) (10 — Зi + (—10 + Зi = (10 — 10) + (—3 + 3) і =

= 0 + Оі = 0.

З наведених прикладів випливає, що додавання комплексних чисел ми виконуємо за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність а + + 0 = а. У множині комплексних чисел нулем є число 0 4-+ 0i. Справді, яке б не було число а 4- Ьі, справедлива рівність

(a + bі) + (0 + 0i) = (а + 0) + (b + 0) і = а + bі.

За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел вводиться поняття про протилежні числа: два числа а + Ьі та —a — bі, сума яких дорівнює 0, називають протилежними.

Додавання комплексних чисел підлягає переставному і сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай, z₁ = а + bі, z₂ = с + di. Тоді z₁ + z₂ = (а + + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d) і, z₂ + z₁ = = (с + di) + (а + bі) = (с + а) + (d + b) і. Оскільки для додавання дійсних чисел справджується переставний закон, тобто а + с = с + a; b + d = d + b, тобто (а + с) + + (b + d) і = (с + а) + (d + b) і, то z₁ + z₂ = z₂ + z₁, що й треба було довести. Означення суми комплексних чисел поширюсться і на випадок трьох і більше доданків.