нове число, вважаючи його розв'язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює —1, позначають буквою t і називають уявною одиницею (і — перша буква латинського слова imaginarius — уявний). Підкреслимо, що рівність і² = —1 приймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду bі (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду а + bі (сума дійсного числа а і добутку дійсного числа b на уявну одиницю).

Отже, нова множина чисел повинна містити всі числа виду а + bі. Числа виду а + bі, де а і b — довільні дійсні числа, а і — уявна одиниця називають комплексними. Слово «комплексний» означає складений. Число а називають дійсною частиною комплексного числа а + bі, .а вираз bі — уявною.

Число Ь називають коефіцієнтом при уявній частині. Наприклад, у числі 6 + 7і дійсна частина 6, уявна 7і. Коефіцієнт при уявній частині дорівнює 7. Дійсною частиною числа 0 + Зі є число нуль, а уявною — вираз Зі; коефіцієнт при уявній частині дорівнює 3. Числа виду а + 0» ототожнюються з дійсними числами, а саме вважають, що а + 0і = а. Далі ми скрізь замість а + 0ї писатимемо просто а, зокрема 0 + 0i = 0. Таким чином виконується обов'язкова для будь-якого розширення поняття числа вимога, щоб попередній числовий «запас» входив до нової числової множини як її частина. Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, що ставляться при будь-якому розширенні поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за означенням умову рівності цих чисел і правила виконання прямих дій — додавання і множення.

Два комплексних числа а + bі і с + di рівні між собою тоді і тільки тоді, коли а = с і b = d, тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, с-казати, яке з двох чисел більше 10t чи Зі, 2 + bі чи 5 + 2і.

Важливим є поняття про спряжені комплексні числа, Числа а + bі та а — bі, дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числа а + bі і а — bі, які відрізняються лише знаком уявної частини, називаються спряженими.