Розглянемо ще один лриклад. Нехай роглядувана крива є синусоїдою у — — sin х (мал. 115). Тоді пряма у= 1 має з даною кривою безліч спільних точок (а не одну!), і вона є дотичною до даної кривої, наприклад, у точці М. Це саме стосується і прямої у = —1, яка є дотичною до кривої, наприклад, у точці М₁ і має безліч спільних точок з кривою.

Тому, як випливає із наведених прикладів, слід дати загальне означення дотичної, яке б охоплювало як замкнені, так і незамкнені криві.

Отже, нехай маємо деяку довільну криву L (мал. 116). Візьмемо на ній дві точки М₀ і М_х і через них проведемо пряму М₀М₁, яку називатимемо січною. Якщо тепер точка Af, рухатиметься уздовж кривої, то січна M₀M₁ повертатиметься навколо точки М₀. Нехай точка М₁ рухаючись вздовж кривої, наближається до точки М₀. Тоді довжина хорди М₀М₁ прямує до нуля. Якщо при цьому й величина кута М_ХМ₀Т прямує до нуля, то пряма М₀Т називається граничним положенням січної М₀М₁.

Отже, маємо таке означення.

Дотичною до кривої L у точці М₀ називається граничне положення М₀Т січної M₀M,, якщо точка М_г прямує вздовж кривої до злиття з точкою М₀.

Зазначимо, що з якого б боку точка М₁ не наближалася по кривій до точки М₀, січна М₀М₁ при цьому має наближатися до того самого її граничного положення (до тієї самої прямої). Тільки у цьому разі кажуть, що у точці M_Q крива має дотичну. Не кожна крива у розглядуваній точці має дотичну. Граничного положення січної може і не існувати.

Із малюнка видно, що з якого боку точка М₁ по кривій не рухалась би до точки М₀, січна М₀М₁, обертаючись на-