§ 8. Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Під час вивчення тригонометричних функцій гострого кута у 8-му класі за теоремою Піфагора було доведено основну тригонометричну тотожність

sin² a -f cos² а = 1. (1)

Вона виконується для тригонометричних функцій будь-якого кута і тригонометричних функцій довільного числового аргументу. Доведемо це. Якщо косинус числа а — це абсциса точки Р_а одиничного кола, а синус числа а — ордината цієї точки, тобто х = cos а, у — sin а, то точка Р_а (х; у) віддалена від центра кола на відстань, що дорівнює 1. Відомо, що відстань точки від початку координат визначається за формулою х² + У² = r². Оскільки r = 1, то х² + у² = 1, тобто sin² а + cos² а = 1.

Означивши тангенс і котангенс через синус і косинус, ми ввели ще два незалежних співвідношення:

З тотожностей (1) — (3) як наслідок випливають ще кілька співвідношень, які часто використовують при обчисленні значень тригонометричних функцій через дане значення однієї з них та в інших задачах.

Перемноживши почленно рівності (2) і (3), дістанемо tg а • ctg а — 1, звідки