§ 6. Диференціальні рівняння

Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Наприклад, рівняння у" + 4у — 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння — інтегруванням. Наприклад, функція у = е^х є розв'язком диференціального рівняння у — у' = 0, бо (е^х)' = е^х.

Функція у — cos х є розв'язком диференціального рівняння у" + у = 0.

Справді, для функції у = cos х, маємо:

у" — —cos х. Підставляючи значення у" в рівняння у" + у = 0, дістанемо — cos х + cos х = 0.

Аналогічно можна переконатися, що функція у = = A sin х + В cos х, де А і В — довільні сталі, та'кож є розв'язком даного рівняння. (Самостійно виконайте необхідні перетворення.)

Загальним розв'язком даного диференціального рівняння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює "порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у = A sin х + В cos х є загальним, а розв'язок у = = cos х — окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'язку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шуканий окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, називають початковими умовами.