Розв'язання. Скористаємося методом математичної індукції. Цей метод грунтується на такому принципі: якщо деяке твердження А (n) відносно натурального числа п правильне для я = 1 і з припущення, що воно правильне для п = k, випливає, що воно правильне для наступного числа п = k + 1, то це твердження правильне для будь-якого натурального числа п.

Щоб довести твердження методом математичної індукції, треба:

1) перевірити правильність твердження для n = 1;

2) припустити, що воно правильне для k, і на підставі цього припущення і вже відомих тверджень довести, що твердження правильне для п — k + 1;

3) зробити висновок, що згідно з принципом математичної індукції доводжуване твердження правильне для будь-якого натурального числа п.

Доводжувана формулі у' = (х^п)' — пх^п–1 є твердженням відносно натурального числа п. Виконаємо три кроки:

1) переконаємося, що формула правильна для n = 1. У § 3 було доведено, що у' — (x)' = 1. Отже (х¹)' = 1 X X х^]–1 — х° = 1, тобто для n = 1 формула (4) правильна;

2) припустимо, що формула (4) правильна для n = k, тобто у' = (x^k)' — kx^k–1 і доведемо, що формула (4) правильна для п = k + 1.

Справді, використовуючи теорему про похідну добутку двох функцій і припущення, дістанемо,